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已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
admin
2015-11-16
17
问题
已知向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
选项
A、α
1
+α
2
,α
2
-α
3
,α
3
-α
4
,α
4
+α
1
B、α
1
+α
2
,α
1
-2α
3
,α
1
+α
2
-α
3
,5α
2
+α
3
C、α
1
+α
2
+α
3
,α
1
-α
2
+α
3
,α
1
+3α
2
+9α
3
D、α
1
+α
3
,α
2
+2α
3
+α
4
,α
1
+2α
3
+α
4
,α
2
+3α
3
+2α
4
答案
D
解析
解 因为
(α
1
+α
2
)-(α
2
-α
3
)-(α
3
-α
4
)-(α
4
+α
1
)=0,
所以向量组(A)线性相关。
若令
β
1
=α
1
+α
2
, β
2
=α
1
-2α
3
, β
3
=α
1
+α
2
-α
3
, β
4
=5α
2
+α
3
。
则β
1
,β
2
,β
3
,β
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即多数向量可由少数向量线性表示。因此β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性相关,即向量组(B)线性相关。
关于(C),由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关知,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,若令
β
1
=α
1
+α
2
+α
3
, β
2
=α
1
-α
2
+α
3
, β
3
=α
1
+3α
2
+9α
3
,
则 [β
1
,β
2
,β
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
。
因为
是范德蒙行列式,不为0,所以
r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=3,
即向量组(C)线性无关,故仅(C)入选。因
[α
1
+α
3
,α
2
+2α
3
+α
4
,α
1
+2α
3
+α
4
,α
2
+3α
3
+2α
4
]
=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]
而右边行列式等于0,故(D)中向量组线性相关。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LFw4777K
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