已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。

admin2015-11-16  16

问题 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则下列向量组中线性无关的是(     )。

选项 A、α1+α2,α2-α3,α3-α4,α4+α1
B、α1+α2,α1-2α3,α1+α2-α3,5α2+α3
C、α1+α2+α3,α1-α2+α3,α1+3α2+9α3
D、α1+α3,α2+2α3+α4,α1+2α3+α4,α2+3α3+2α4

答案D

解析 解  因为
    (α1+α2)-(α2-α3)-(α3-α4)-(α4+α1)=0,
所以向量组(A)线性相关。
    若令
    β1=α1+α2,  β2=α1-2α3,  β3=α1+α2-α3,  β4=5α2+α3
则β1,β2,β3,β4可由α1,α2,α3线性表示,即多数向量可由少数向量线性表示。因此β1,β2,β3,β4线性相关,即向量组(B)线性相关。
    关于(C),由α1,α2,α3,α4线性无关知,α1,α2,α3线性无关,若令
    β1=α1+α2+α3, β2=α1-α2+α3,  β3=α1+3α2+9α3
则    [β1,β2,β3]=[α1,α2,α3]
因为是范德蒙行列式,不为0,所以
    r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)=3,
即向量组(C)线性无关,故仅(C)入选。因
    [α1+α3,α2+2α3+α4,α1+2α3+α4,α2+3α3+2α4]
        =[α1,α2,α3,α4]
而右边行列式等于0,故(D)中向量组线性相关。
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