2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．

设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．

admin2020-09-25  49
问题 设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．
选项
答案必要性[*]：假设α1，…,αn是标准正交基，设α=k1α1+k2α2+…+knαn则(α，αi)=ki(i=1，2，…，n)．所以α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn． 充分性[*]：若对任意α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn，则由αi=0α1+…+1αi+…+0α0及α1，α2，…，αn线性无关得(αi，αj)=[*] 因此，α1，α2，…，αn为标准正交基．
解析
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考研数学三

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