设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．

admin2020-09-25 66

问题设α₁，α₂，…，α_n为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α₁)α₁+(α，α₂)α₂+…+(α，α_n)α_n．

选项

答案必要性[*]：假设α₁，…,α_n是标准正交基，设α=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n则(α，α_i)=k_i(i=1，2，…，n)．所以α=(α，α₁)α₁+(α，α₂)α₂+…+(α，α_n)α_n．充分性[*]：若对任意α，都有α=(α，α₁)α₁+(α，α₂)α₂+…+(α，α_n)α_n，则由α_i=0α₁+…+1α_i+…+0α₀及α₁，α₂，…，α_n线性无关得(α_i，α_j)=[*] 因此，α₁，α₂，…，α_n为标准正交基．

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．

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