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设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．
设α1，α2，…，αn为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．
admin
2020-09-25
82
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
为线性空间V的一组基，证明：此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α，都有α=(α，α
1
)α
1
+(α，α
2
)α
2
+…+(α，α
n
)α
n
．
选项
答案
必要性[*]：假设α
1
，…,α
n
是标准正交基，设α=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
则(α，α
i
)=k
i
(i=1，2，…，n)．所以α=(α，α
1
)α
1
+(α，α
2
)α
2
+…+(α，α
n
)α
n
． 充分性[*]：若对任意α，都有α=(α，α
1
)α
1
+(α，α
2
)α
2
+…+(α，α
n
)α
n
，则由α
i
=0α
1
+…+1α
i
+…+0α
0
及α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关得(α
i
，α
j
)=[*] 因此，α
1
，α
2
，…，α
n
为标准正交基．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LJx4777K
0
考研数学三
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