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设α1,α2,…,αn为线性空间V的一组基,证明:此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α,都有α=(α,α1)α1+(α,α2)α2+…+(α,αn)αn.
设α1,α2,…,αn为线性空间V的一组基,证明:此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α,都有α=(α,α1)α1+(α,α2)α2+…+(α,αn)αn.
admin
2020-09-25
63
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
为线性空间V的一组基,证明:此基为标准正交基的充分必要条件是对任意向量α,都有α=(α,α
1
)α
1
+(α,α
2
)α
2
+…+(α,α
n
)α
n
.
选项
答案
必要性[*]:假设α
1
,…,α
n
是标准正交基,设α=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
则(α,α
i
)=k
i
(i=1,2,…,n).所以α=(α,α
1
)α
1
+(α,α
2
)α
2
+…+(α,α
n
)α
n
. 充分性[*]:若对任意α,都有α=(α,α
1
)α
1
+(α,α
2
)α
2
+…+(α,α
n
)α
n
,则由α
i
=0α
1
+…+1α
i
+…+0α
0
及α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关得(α
i
,α
j
)=[*] 因此,α
1
,α
2
,…,α
n
为标准正交基.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LJx4777K
0
考研数学三
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