求一正交变换z=Py将二次型f(x1，x2，x3)＝﹣2x1x2＋2x1x31＋2x2x3化为标准形．

admin2020-06-05 39

问题求一正交变换z=Py将二次型f(x₁，x₂，x₃)＝﹣2x₁x₂＋2x₁x₃₁＋2x₂x₃化为标准形．

选项

答案二次型f的矩阵为 A＝[*] 它的特征多项式为｜A－AE｜＝[*]＝﹣(λ－1)²(λ＋2) 所以矩阵A的特征值为λ₁＝﹣2，λ₂＝λ₃＝1．当λ₁＝﹣2时，解方程(A＋2E)x＝0．由 A＋2E＝[*] 得基础解系p₁＝(﹣1，﹣1，1)^T，将p₁单位化得q₁＝[*] 当λ₂＝λ₃＝1时，解方程组(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p₂＝(﹣1，1，0)^T，p₃＝(1，0，1)^T．将p₂，p₃正交化，取 α₂＝p₂，α₃＝[*] 再将α₂，α₃单位化，得q₂＝[*] ，q₃＝[*] ．于是正交变换为 [*] 且有f＝﹣2y₁²＋y₂²＋y₃²．

解析

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考研数学一

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求一正交变换z=Py将二次型f(x1，x2，x3)＝﹣2x1x2＋2x1x31＋2x2x3化为标准形．

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