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求一正交变换z=Py将二次型f(x1,x2,x3)=﹣2x1x2+2x1x31+2x2x3化为标准形.
求一正交变换z=Py将二次型f(x1,x2,x3)=﹣2x1x2+2x1x31+2x2x3化为标准形.
admin
2020-06-05
38
问题
求一正交变换z=Py将二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=﹣2x
1
x
2
+2x
1
x
31
+2x
2
x
3
化为标准形.
选项
答案
二次型f的矩阵为 A=[*] 它的特征多项式为 |A-AE|=[*]=﹣(λ-1)
2
(λ+2) 所以矩阵A的特征值为λ
1
=﹣2,λ
2
=λ
3
=1. 当λ
1
=﹣2时,解方程(A+2E)x=0.由 A+2E=[*] 得基础解系p
1
=(﹣1,﹣1,1)
T
,将p
1
单位化得q
1
=[*] 当λ
2
=λ
3
=1时,解方程组(A-E)x=0.由 A-E=[*] 得基础解系p
2
=(﹣1,1,0)
T
,p
3
=(1,0,1)
T
. 将p
2
,p
3
正交化,取 α
2
=p
2
,α
3
=[*] 再将α
2
,α
3
单位化,得q
2
=[*] ,q
3
=[*] .于是正交变换为 [*] 且有f=﹣2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LNv4777K
0
考研数学一
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