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  3. 求一正交变换z=Py将二次型f(x1，x2，x3)＝﹣2x1x2＋2x1x31＋2x2x3化为标准形．

求一正交变换z=Py将二次型f(x1，x2，x3)＝﹣2x1x2＋2x1x31＋2x2x3化为标准形．

admin2020-06-05  51
问题 求一正交变换z=Py将二次型f(x1，x2，x3)＝﹣2x1x2＋2x1x31＋2x2x3化为标准形．
选项
答案二次型f的矩阵为 A＝[*] 它的特征多项式为 ｜A－AE｜＝[*]＝﹣(λ－1)2(λ＋2) 所以矩阵A的特征值为λ1＝﹣2，λ2＝λ3＝1． 当λ1＝﹣2时，解方程(A＋2E)x＝0．由 A＋2E＝[*] 得基础解系p1＝(﹣1，﹣1，1)T，将p1单位化得q1＝[*] 当λ2＝λ3＝1时，解方程组(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得基础解系p2＝(﹣1，1，0)T，p3＝(1，0，1)T． 将p2，p3正交化，取 α2＝p2，α3＝[*] 再将α2，α3单位化，得q2＝[*] ，q3＝[*] ．于是正交变换为 [*] 且有f＝﹣2y12＋y22＋y32．
解析
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考研数学一

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