2. 考研
  3. 设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(c)＝f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＜0．

设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(c)＝f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＜0．

admin2018-06-12  38
问题 设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(c)＝f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＜0．
选项
答案由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(χ)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f′(α)＝f′(β)＝0，但f(χ)在[α，β]上不恒等于常数，从而f′(χ)≠0．这表明g(χ)＝f′(χ)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)＝g(β)＝0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ使g′(ξ)＜0即可． 由题设知f(χ)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f′(α)＝f′(β)＝0． 令g(χ)＝f′(χ)，由题设及上面所得结果知g(χ)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)＝g(β)＝0． 若[*]∈(α，β)使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(χ)可得：[*]ξ∈(γ，β)使 [*] 否则，必[*]η∈(α，β)使g(η)＜0，在[α，η]上把拉格朗日定理用于g(χ)也可得：[*]ξ∈(0[α，η)使 [*]
解析
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考研数学一

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