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设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b),其中c是(a,b)内的一点,且在[a,b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数.求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f〞(ξ)<0.
设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b),其中c是(a,b)内的一点,且在[a,b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数.求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f〞(ξ)<0.
admin
2018-06-12
27
问题
设函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b),其中c是(a,b)内的一点,且在[a,b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数.求证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使f〞(ξ)<0.
选项
答案
由题设知,可在[a,c]上和[c,b]上分别对f(χ)用罗尔定理,于是存在α∈(a,c),β∈(c,b)使f′(α)=f′(β)=0,但f(χ)在[α,β]上不恒等于常数,从而f′(χ)≠0.这表明g(χ)=f′(χ)在[α,β]上可导,不恒等于常数且g(α)=g(β)=0.为证明本题的结论,只需证明在(α,β)内至少存在一点ξ使g′(ξ)<0即可. 由题设知f(χ)在[a,c]上和[c,b]上分别满足罗尔定理的条件,于是存在α∈(a,c),β∈(c,b)使f′(α)=f′(β)=0. 令g(χ)=f′(χ),由题设及上面所得结果知g(χ)是在[α,β]上可导但不恒等于常数的函数,且g(α)=g(β)=0. 若[*]∈(α,β)使g(γ)>0,在[γ,β]上把拉格朗日定理用于g(χ)可得:[*]ξ∈(γ,β)使 [*] 否则,必[*]η∈(α,β)使g(η)<0,在[α,η]上把拉格朗日定理用于g(χ)也可得:[*]ξ∈(0[α,η)使 [*]
解析
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考研数学一
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