设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2016-05-09  33

问题 设有齐次线性方程组
    试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为χ1+χ2+…+χn=0, 由此得基础解系为 η1=(-1,1,0,…,0)T,η2=(-1,0,1,…,0)T,…,ηn-1=(-1,0,0,…,1)T, 于是方程组的通解为 χ=k1η1+…+kn-1ηn-1,其中k1,…,kn-1为任意常数. 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 [*] 可知a=-[*]时,r(A)=n-1<n,故方程组也有非零解,其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1,2,…,n)T,于是方程组的通解为χ=kη,其中k为任意常数.

解析
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