以下三个命题： ①若数列{un|收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．

admin2018-08-22 59

问题以下三个命题：
①若数列{u_n|收敛于A，则其任意子数列{u_{n_i}}必定收敛于A；
②若单调数列{x_n}的某一子数列{x_{n_i}}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x_2n}与{x_2n+1}都收敛于A，则数列{x_n}必定收敛于A．
正确的个数为 ( )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案D

解析对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{u_n}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有
                  |u_n一A|＜ε，
则当n_i＞N时，恒有
                  |u_{n_i}一A|＜ε，
因此数列{u_{n_i}}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{x_n}为单调递增的，即
               x₁≤x₂≤…≤x_n≤…，
其中某一给定子数列{x_{n_i}}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n_i＞N时，恒有
|x_{n_i}一A|＜ε．
由于数列{x_n}为单调递增的数列，对于任意的n＞N，必定存在n_i≤n≤n_i+1，有
               一ε＜x_{n_i}—A≤x_n一A≤x_{n_i+1}一A＜ε，
从而                   |x_n一A|＜ε，
可知数列{x_n}收敛于A因此命题正确．
对于命题③，因

由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N₁，N₂，使得
当2n＞N₁时，恒有|x_2n一A|＜ε；
当2n+1＞N₂时，恒有|x_2n+1一A|＜ε．
取N=max{N₁，N₂}，则当n＞N时，总有|x_n一A|＜ε．因此

可知命题正确．
故答案选择D．

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考研数学二

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