2. 考研
  3. 以下三个命题： ①若数列{un|收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．

以下三个命题： ①若数列{un|收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．

admin2018-08-22  60
问题 以下三个命题：
    ①若数列{un|收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
    ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
    ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
    正确的个数为    (    )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有
                     |un一A|＜ε，
则当ni＞N时，恒有
                     |uni一A|＜ε，
因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
    对于命题②，不妨设数列{xn}为单调递增的，即
                 x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有
    |xni一A|＜ε．
    由于数列{xn}为单调递增的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有
                   一ε＜xni—A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，
从而                      |xn一A|＜ε，
可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．
    对于命题③，因由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2，使得
    当2n＞N1时，恒有|x2n一A|＜ε；
    当2n+1＞N2时，恒有|x2n+1一A|＜ε．
    取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有|xn一A|＜ε．因此可知命题正确．
  故答案选择D．
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考研数学二

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