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以下三个命题： ①若数列{un|收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
以下三个命题： ①若数列{un|收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
admin
2018-08-22
56
问题
以下三个命题：
①若数列{u
n
|收敛于A，则其任意子数列{u
n
i
}必定收敛于A；
②若单调数列{x
n
}的某一子数列{x
n
i
}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x
2n
}与{x
2n+1
}都收敛于A，则数列{x
n
}必定收敛于A．
正确的个数为 ( )
选项
A、0
B、1
C、2
D、3
答案
D
解析
对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{u
n
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有
|u
n
一A|＜ε，
则当n
i
＞N时，恒有
|u
n
i
一A|＜ε，
因此数列{u
n
i
}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{x
n
}为单调递增的，即
x
1
≤x
2
≤…≤x
n
≤…，
其中某一给定子数列{x
n
i
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n
i
＞N时，恒有
|x
n
i
一A|＜ε．
由于数列{x
n
}为单调递增的数列，对于任意的n＞N，必定存在n
i
≤n≤n
i+1
，有
一ε＜x
n
i
—A≤x
n
一A≤x
n
i+1
一A＜ε，
从而 |x
n
一A|＜ε，
可知数列{x
n
}收敛于A因此命题正确．
对于命题③，因
由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N
1
，N
2
，使得
当2n＞N
1
时，恒有|x
2n
一A|＜ε；
当2n+1＞N
2
时，恒有|x
2n+1
一A|＜ε．
取N=max{N
1
，N
2
}，则当n＞N时，总有|x
n
一A|＜ε．因此
可知命题正确．
故答案选择D．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LTj4777K
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