设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP，其中P=； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

admin2019-03-19 125

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
(Ⅰ)计算P^TDP，其中P=

；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

选项

答案[*] (Ⅱ)矩阵B一C^TA^-1C是正定矩阵。由(Ⅰ)的结果可知，矩阵D合同于矩阵M=[*]，因为D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵。又因矩阵M为对称矩阵，所以B一C^TA^-1C为对称矩阵。则对X=(0，，…，0)^T及任意的Y=(y₁，y₂，…，y_n)^T≠0，有 (X^T，Y^T)[*]=Y^T(B-C^TA^-1C)Y＞0。因此B—C^TA^-1为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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