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  3. 设曲面S：z=x2+y2与平面z=1所围均匀立体为V，且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L。 求L；

设曲面S：z=x2+y2与平面z=1所围均匀立体为V，且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L。 求L；

admin2022-05-26  11
问题 设曲面S：z=x2+y2与平面z=1所围均匀立体为V，且在S上使其切平面与V的质心距离最近的点的轨迹方程为L。
求L；
选项
答案设M(x，y，z)为S上任意一点，则点M处切平面的法向量为n=(2x，2y，-1)，故点M处的切平面方程为 　　 Z=z+2x(X—x)+2y(Y-y)， 　　即 　　 2x·X+2y·Y-Z-(x2+y2)=0， 　　故均匀立体V的质心到此切平面的距离为 [*] 　　下面求d的最小值．令x2+y2=u，则d转化为关于u的一元函数，且 [*] 　　当u=1/6时，d’(u)=0；当0≤u＜1/6时，d’(u)＜0；当1/6＜u≤1时，d’(u)＞0．故 　　 u=1/6为d(u)的唯一极小值点，也是最小值点．此时x2+y2=1/6，所求轨迹方程L为 [*]
解析
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考研数学一

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