2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)上连续，下述命题： ①若对任意a，∫－aaf(x)dx=0，则f(x)必是奇函数； ②若对任意a，∫－aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，则f(x)必是偶函数； ③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)=∫0xf(t)dt也

设f(x)在(－∞，+∞)上连续，下述命题： ①若对任意a，∫－aaf(x)dx=0，则f(x)必是奇函数； ②若对任意a，∫－aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，则f(x)必是偶函数； ③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)=∫0xf(t)dt也

admin2018-07-23  43
问题 设f(x)在(－∞，+∞)上连续，下述命题：
①若对任意a，∫－aaf(x)dx=0，则f(x)必是奇函数；
②若对任意a，∫－aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，则f(x)必是偶函数；
③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)=∫0xf(t)dt也具有周期T．
正确的个数是    (  )
选项 A、0．
B、1．
C、2．
D、3．
答案D
解析 ①是正确的．记F(a)= ∫－aaf(x)dx，有Fˊ(a)=f(a)+f(－a)．
由于F(a) ≡0，所以Fˊ(a)≡0，即f(a)= －f(－a)，f(x)为奇函数．
②是正确的．记F(a)=∫－aaf(x)dx－2∫0af(x)dx，Fˊ(a)=f(a)+f(－a)－2f(a)≡0，所以f(－a)=f(a)，f(x)为偶函数．
③
所以，F(x)具有周期T，故应选D．
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考研数学二

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