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设x=f(x,y)满足关系式(k是正常数),且f(0,k)=1/3k, (1)求f(x,y); (2)设x0>0,xn+1=f(x0,xn)(n=0,1,2,…),证明数列{xn}收敛,并求。
设x=f(x,y)满足关系式(k是正常数),且f(0,k)=1/3k, (1)求f(x,y); (2)设x0>0,xn+1=f(x0,xn)(n=0,1,2,…),证明数列{xn}收敛,并求。
admin
2021-04-16
65
问题
设x=f(x,y)满足关系式
(k是正常数),且f(0,k)=1/3k,
(1)求f(x,y);
(2)设x
0
>0,x
n+1
=f(x
0
,x
n
)(n=0,1,2,…),证明数列{x
n
}收敛,并求
。
选项
答案
(1)由[*]=2/3得z=(2/3)x+g(y),而[*]=g’(y)=-2k/3y
3
,于是z=2x/3+k/3y
2
+C。 再由f(0,k)=1/3k得C=0,所以f(x,y)=(1/3)(2x+k/y
2
)。 (2)由(1)可知x
n+1
=(1/3)(2x
n
+k/x
n
2
)(n=0,1,2,…),由x
0
>0知k>0知x
n
>0(n=1,2,…),故 x
n+1
>(1/3)(2x
n
+k/x
n
2
)≥[*](均值不等式),x
n+1
-x
n
=(1/3)(2x
n
+k/x
n
2
)-x
n
=(1/3)(k/x
n
2
-x
n
) =(1/3x
n
2
)(k-x
n
3
)≤0(n=0,1,2,…)。 因此,{x
n
)单调减少且有下界,故数列(x
n
}收敛,设[*]=A,得A=(1/3)(2A+k/A
2
),解得A=[*]
解析
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考研数学三
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