设x=f(x,y)满足关系式(k是正常数),且f(0,k)=1/3k, (1)求f(x,y); (2)设x0>0,xn+1=f(x0,xn)(n=0,1,2,…),证明数列{xn}收敛,并求。

admin2021-04-16  53

问题 设x=f(x,y)满足关系式(k是正常数),且f(0,k)=1/3k,
    (1)求f(x,y);
    (2)设x0>0,xn+1=f(x0,xn)(n=0,1,2,…),证明数列{xn}收敛,并求

选项

答案(1)由[*]=2/3得z=(2/3)x+g(y),而[*]=g’(y)=-2k/3y3,于是z=2x/3+k/3y2+C。 再由f(0,k)=1/3k得C=0,所以f(x,y)=(1/3)(2x+k/y2)。 (2)由(1)可知xn+1=(1/3)(2xn+k/xn2)(n=0,1,2,…),由x0>0知k>0知xn>0(n=1,2,…),故 xn+1>(1/3)(2xn+k/xn2)≥[*](均值不等式),xn+1-xn=(1/3)(2xn+k/xn2)-xn=(1/3)(k/xn2-xn) =(1/3xn2)(k-xn3)≤0(n=0,1,2,…)。 因此,{xn)单调减少且有下界,故数列(xn}收敛,设[*]=A,得A=(1/3)(2A+k/A2),解得A=[*]

解析
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