2. 考研
  3. 设x=f(x，y)满足关系式(k是正常数)，且f(0，k)=1／3k， (1)求f(x，y)； (2)设x0＞0，xn+1=f(x0，xn)(n=0，1，2，…)，证明数列{xn}收敛，并求。

设x=f(x，y)满足关系式(k是正常数)，且f(0，k)=1／3k， (1)求f(x，y)； (2)设x0＞0，xn+1=f(x0，xn)(n=0，1，2，…)，证明数列{xn}收敛，并求。

admin2021-04-16  58
问题 设x=f(x，y)满足关系式(k是正常数)，且f(0，k)=1／3k，
    (1)求f(x，y)；
    (2)设x0＞0，xn+1=f(x0，xn)(n=0，1，2，…)，证明数列{xn}收敛，并求。
选项
答案(1)由[*]=2／3得z=(2／3)x+g(y)，而[*]=g’(y)=-2k／3y3，于是z=2x／3+k／3y2+C。 再由f(0，k)=1／3k得C=0，所以f(x，y)=(1／3)(2x+k／y2)。 (2)由(1)可知xn+1=(1／3)(2xn+k／xn2)(n=0，1，2，…)，由x0＞0知k＞0知xn＞0(n=1，2，…)，故 xn+1＞(1／3)(2xn+k／xn2)≥[*](均值不等式)，xn+1-xn=(1／3)(2xn+k／xn2)-xn=(1／3)(k／xn2-xn) =(1／3xn2)(k-xn3)≤0(n=0，1，2，…)。 因此，{xn)单调减少且有下界，故数列(xn}收敛，设[*]=A，得A=(1／3)(2A+k／A2)，解得A=[*]
解析
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考研数学三

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