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设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定二次型.证明: (Ⅰ)二次型平方项的系数均大于零; (Ⅱ)|A|>0; 举例说明上述条件均不是f(x1,x2,…,xn)正定的充分条件.
设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定二次型.证明: (Ⅰ)二次型平方项的系数均大于零; (Ⅱ)|A|>0; 举例说明上述条件均不是f(x1,x2,…,xn)正定的充分条件.
admin
2016-07-22
62
问题
设f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=X
T
AX是正定二次型.证明:
(Ⅰ)二次型平方项的系数均大于零;
(Ⅱ)|A|>0;
举例说明上述条件均不是f(x
1
,x
2
,…,x
n
)正定的充分条件.
选项
答案
(I)利用厂正定的定义证:f正定,由定义,任给X≠0,均有f=X
T
AX>0. 取X=(1,0,…,0)
T
≠0则 X
T
AX=(1,0,…,0)[*]=a
11
>0. 同理,取X=(0,…,1,…,0)
T
≠0,X
T
AX=a
ii
>0,i=1,2,…,n. 得证f的平方项的系数均大于零. (Ⅱ)用f正定的充要条件证:f=X
T
AX正定[*]存在可逆矩阵C,使得C
T
AC=E. A=(C
T
)
-1
C
-1
[*]|A|=|C
-1
|
2
>0. 或用反证法:若|A|≤0,则|A|=λ
1
λ
2
…λ
n
≤0,必有λ
i
≤0. 设λ
i
对应的特征向量为α
i
,则有Aα
i
=λ
i
α
i
,左乘[*],得 [*]α
i
>0,λ
i
≤0). 这和f是正定二次型矛盾,故|A|>0. 上述条件均不是f正定的充分条件,例 f=[*]=(x
1
+x
2
)
2
,有a
11
=a
22
=1>0,但f(1,-1)=0,f不正定. f=[*]=1>0,显然f不正定.
解析
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考研数学二
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