2. 考研
  3. 设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明： (Ⅰ)二次型平方项的系数均大于零； (Ⅱ)｜A｜＞0； 举例说明上述条件均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件．

设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明： (Ⅰ)二次型平方项的系数均大于零； (Ⅱ)｜A｜＞0； 举例说明上述条件均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件．

admin2016-07-22  51
问题 设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明：
(Ⅰ)二次型平方项的系数均大于零；
(Ⅱ)｜A｜＞0；
举例说明上述条件均不是f(x1，x2，…，xn)正定的充分条件．
选项
答案(I)利用厂正定的定义证：f正定，由定义，任给X≠0，均有f=XTAX＞0． 取X=(1，0，…，0)T≠0则 XTAX=(1，0，…，0)[*]=a11＞0． 同理，取X=(0，…，1，…，0)T≠0，XTAX=aii＞0，i=1，2，…，n． 得证f的平方项的系数均大于零． (Ⅱ)用f正定的充要条件证：f=XTAX正定[*]存在可逆矩阵C，使得CTAC=E． A=(CT)－1C－1[*]｜A｜=｜C－1｜2＞0． 或用反证法：若｜A｜≤0，则｜A｜=λ1λ2…λn≤0，必有λi≤0． 设λi对应的特征向量为αi，则有Aαi=λiαi，左乘[*]，得 [*]αi＞0，λi≤0)． 这和f是正定二次型矛盾，故｜A｜＞0． 上述条件均不是f正定的充分条件，例 f=[*]=(x1+x2)2，有a11=a22=1＞0，但f(1，－1)=0，f不正定． f=[*]=1＞0，显然f不正定．
解析
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考研数学二

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