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考研
根据k的不同取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。
根据k的不同取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。
admin
2020-02-27
48
问题
根据k的不同取值情况,讨论方程x
3
-3x+k=0实根的个数。
选项
答案
令f(x)=x
3
-3x+k,x∈R, 令f’(x)=3x
2
-3=0,解得驻点x=-1,x=1,函数的单增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单减区间为[-1,1],因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续,根据零点定理有 f(-∞)<0,f(-1)=2+k,f(1)=k-2,f(+∞)>0。 当k<-2时,f(-1)<0,f(1)<0,函数在(1,+∞)内存在唯一一个根; 当-2<k<2时,f(-1)>0,f(1)<0,函数在每个单调区间有一根,共有三个根; 当k>2时,f(-1)>0,f(1)>0,函数在(-∞,-1)内存在唯一一个根; 当k=-2时,f(-1)=0,f(1)<0,方程在x=-1处和(1,+∞)内各有一个根,共两个根; 当k=2时,f(-1)>0,f(1)=0,方程在x=1处和(-∞,-1)内各有一个根,共两个根。 综上所述,当k<-2或k>2,方程有且仅有一个根;当-2<k<2,方程有三个根;当k=±2,方程有两个根。
解析
本题考查方程根的个数,利用零点定理解答。通过讨论k的不同取值,确定函数的单调区间并讨论每个单调区间与x轴是否有交点。
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考研数学三
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