2. 考研
  3. 根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。

admin2020-02-27  43
问题 根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。
选项
答案令f(x)＝x3－3x＋k，x∈R， 令f’(x)＝3x2－3＝0，解得驻点x＝－1，x＝1，函数的单增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单减区间为[－1，1]，因此该函数至多有三个根。因为函数f(x)连续，根据零点定理有 f(－∞)＜0，f(－1)＝2＋k，f(1)＝k－2，f(＋∞)＞0。 当k＜－2时，f(－1)＜0，f(1)＜0，函数在(1，＋∞)内存在唯一一个根； 当－2＜k＜2时，f(－1)＞0，f(1)＜0，函数在每个单调区间有一根，共有三个根； 当k＞2时，f(－1)＞0，f(1)＞0，函数在(－∞，－1)内存在唯一一个根； 当k＝－2时，f(－1)＝0，f(1)＜0，方程在x＝－1处和(1，＋∞)内各有一个根，共两个根； 当k＝2时，f(－1)＞0，f(1)＝0，方程在x＝1处和(－∞，－1)内各有一个根，共两个根。 综上所述，当k＜－2或k＞2，方程有且仅有一个根；当－2＜k＜2，方程有三个根；当k＝±2，方程有两个根。
解析 本题考查方程根的个数，利用零点定理解答。通过讨论k的不同取值，确定函数的单调区间并讨论每个单调区间与x轴是否有交点。
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考研数学三

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