求函数f(x)=(2－t)e－tdt的最值．

admin2017-05-31 39

问题求函数f(x)=

(2－t)e^－tdt的最值．

选项

答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2－x²)[*] 解f’(x)=0得x=0与x=[*]，于是 [*] 从而f(x)的最大值是[*]=∫₀²(2－t)e^－tdt=－∫₀²(2－t)de^－t=(t－2)e^－t｜₀²－∫₀²e^－tdt =2+e^－t｜₀²=1+e^－2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]的大小．由于 [*]=∫₀^+∞(2－t)e^－tdt=[(t－2)e^－t+e^－t]｜₀^+∞=1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．

解析

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考研数学二

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