(93年)设二次型f=χ12+χ22+χ32+2αχ1χ2+2βχ2χ3+2χ1χ3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32,其中X=(χ1,χ2,χ3)T和Y=(y1,y2,y3)T是3维列向量,P是3阶正交矩阵,试求常数α,β.

admin2017-05-26  39

问题 (93年)设二次型f=χ12+χ22+χ32+2αχ1χ2+2βχ2χ3+2χ1χ3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32,其中X=(χ1,χ2,χ3)T和Y=(y1,y2,y3)T是3维列向量,P是3阶正交矩阵,试求常数α,β.

选项

答案变换前后二次型的矩阵分别为 [*] 由题设条件有 P-1AP=PTAP=B 因此 |λE-A|=|λE-B| 即[*] 得λ3-3λ2+(2-α2-β2)λ+(α-β)2=λ3-3λ2+2λ 解得α=β=0为所求常数.

解析
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