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设矩阵,当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。
设矩阵,当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。
admin
2017-01-13
75
问题
设矩阵
,当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P
一1
AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 [*] 则A的特征值为λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个,即线性方程组(一E—A)x=0有两个线性无关的解向量,则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得 [*] 当k=0时,r(A+E)=1。此时,由(一E—A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α
1
=(一1,2,0)
T
,α
2
=(1,0,2)
T
;由(E—A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α
3
=(1,0,1)
T
。令可逆矩阵P=(α
1
,α
2
,α
3
),则 [*]
解析
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考研数学二
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