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  3. 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

admin2022-08-19  34
问题 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
选项
答案方法一 ∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx] =(1-k)∫0kf(x)dx-k∫k1f(x)dx =k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]， 其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1].因为0＜k＜1且f(x)单调减少， 所以∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0，故 ∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx. 方法二 ∫0kf(x)dx[*]k∫01f(kt)dt=k∫01f(kx)dx，当x∈[0，1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x，又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx，故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx，即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.
解析
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考研数学三

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