2. 考研
  3. 设函数y=fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi"(x)＜0(i=1，2)，若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在点x。的某个邻域内，

设函数y=fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi"(x)＜0(i=1，2)，若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在点x。的某个邻域内，

admin2018-04-14  56
问题 设函数y=fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi"(x)＜0(i=1，2)，若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在点x。的某个邻域内，有(    )
选项 A、f1(x)≤f2(x)≤g(x)。
B、f2(x)≤f1(x)≤g(x)。
C、f1(x)≤g(x)≤f2(x)。
D、f2(x)≤g(x)≤f1(x)。
答案A
解析 由fi"(x)＜0(i=1，2)可知，f1(x)与f2(x)在x0，的某个邻域内都是凸函数，则y=f1(x)与y=f2(x)在x0的某个邻域内的图象均在点(x0，y0)处切线的下方，所以在x0的某个邻域内，f1(x)≤g(x)，f2(x)≤g(x)。
又由曲率公式可知

再由k1＞k2可得f1"(x0)＜f2"(x0)。
令F(x)=f1(x)－f2(x)，则F’(x)=f1’(x)－f2’(x)，F"(x)=f1"(x)－f2"(x)，于是
F(x0)=0，F’(x0)=0，F"(x0)＜0，
所以F(x)在x=x0处取到极大值，故在x0的某个邻域内，F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x)。
综上所述，f1(x)≤f2(x)≤g(x)。故选A。
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考研数学二

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