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设函数y=fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且fi"(x)<0(i=1,2),若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在点x。的某个邻域内,
设函数y=fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且fi"(x)<0(i=1,2),若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在点x。的某个邻域内,
admin
2018-04-14
65
问题
设函数y=f
i
(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且f
i
"(x)<0(i=1,2),若两条曲线y=f
i
(x)(i=1,2)在点(x
0
,y
0
)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f
1
(x)的曲率大于曲线y=f
2
(x)的曲率,则在点x。的某个邻域内,有( )
选项
A、f
1
(x)≤f
2
(x)≤g(x)。
B、f
2
(x)≤f
1
(x)≤g(x)。
C、f
1
(x)≤g(x)≤f
2
(x)。
D、f
2
(x)≤g(x)≤f
1
(x)。
答案
A
解析
由f
i
"(x)<0(i=1,2)可知,f
1
(x)与f
2
(x)在x
0
,的某个邻域内都是凸函数,则y=f
1
(x)与y=f
2
(x)在x
0
的某个邻域内的图象均在点(x
0
,y
0
)处切线的下方,所以在x
0
的某个邻域内,f
1
(x)≤g(x),f
2
(x)≤g(x)。
又由曲率公式
可知
再由k
1
>k
2
可得f
1
"(x
0
)<f
2
"(x
0
)。
令F(x)=f
1
(x)-f
2
(x),则F’(x)=f
1
’(x)-f
2
’(x),F"(x)=f
1
"(x)-f
2
"(x),于是
F(x
0
)=0,F’(x
0
)=0,F"(x
0
)<0,
所以F(x)在x=x
0
处取到极大值,故在x
0
的某个邻域内,F(x)≤F(x
0
)=0,即f
1
(x)≤f
2
(x)。
综上所述,f
1
(x)≤f
2
(x)≤g(x)。故选A。
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考研数学二
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