2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明： 存在η∈(0，1)，使得f″(η)＜—2．

已知函数f(x，y)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明： 存在η∈(0，1)，使得f″(η)＜—2．

admin2021-01-19  40
问题 已知函数f(x，y)在[0，1]上具有二阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明：
存在η∈(0，1)，使得f″(η)＜—2．
选项
答案若不存在η∈(0，1)，使f(η)＜—2， 则对任何x∈(0，1)，有f(x)≥—2， 由拉格朗日中值定理得： f(x)—f(ξ)=f(e)(x—ξ)，C介于x与ξ之间， 不妨设x＜ξ，f′(x)≤—2(x—ξ)， 积分得；∫0ξf′(x)dx≤—2∫0ξ(x—ξ)dx=ξ2＜1， 于是f(ξ)—f(0)＜1，即f(ξ)＜1， 这与f(ξ)＞1相矛盾，故存在η∈(0,1)，使f″(η)＜—2．
解析
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考研数学二

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