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已知函数f(x,y)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,∫01f(x)dx=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f″(η)<—2.
已知函数f(x,y)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,∫01f(x)dx=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f″(η)<—2.
admin
2021-01-19
64
问题
已知函数f(x,y)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,∫
0
1
f(x)dx=1,证明:
存在η∈(0,1),使得f″(η)<—2.
选项
答案
若不存在η∈(0,1),使f(η)<—2, 则对任何x∈(0,1),有f(x)≥—2, 由拉格朗日中值定理得: f(x)—f(ξ)=f(e)(x—ξ),C介于x与ξ之间, 不妨设x<ξ,f′(x)≤—2(x—ξ), 积分得;∫
0
ξ
f′(x)dx≤—2∫
0
ξ
(x—ξ)dx=ξ
2
<1, 于是f(ξ)—f(0)<1,即f(ξ)<1, 这与f(ξ)>1相矛盾,故存在η∈(0,1),使f″(η)<—2.
解析
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0
考研数学二
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[*]
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