设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α1是属于λ1的单位特征向量，则矩阵A—λ1α1α11必有两个特征值是_______．

admin2018-07-18 71

问题设λ₁，λ₂是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α₁是属于λ₁的单位特征向量，则矩阵A—λ₁α₁α₁¹必有两个特征值是_______．

选项

答案0，λ₂．

解析本题考查矩阵A的特征值与特征向量的概念及用定义求特征值与特征向量的求法．
设α₂为矩阵A的属于λ₂的特征向量，由于λ₂，λ₂为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，则α₁^Tα₂=0．又α₁为单位向量，则α₁^Tα₁=1．
又(A—λ₁α₁^Tα₁)α₁
=Aα₁—λ₁α₁α₁^Tα₁=λ₁α₁—λ₁α₁(α₁^Tα₁)
=λ₁α₁—λ₁α₁
=0α₁，(A—λ₁α₁^Tα₁)α₂
=λα₂一λ₁α₁α₁^Tα₂
=λ₂α₂一λ₁α₁(α₁^Tα₂)
=λ₂α₂—0.λ₁α₁=λ₂α₂．
从而得A—λ₁α₁α₁^T的两个特征值为0，λ₂．故应填0，λ₂．

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考研数学二

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