2. 考研
  3. 设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α1是属于λ1的单位特征向量，则矩阵A—λ1α1α11必有两个特征值是_______．

设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α1是属于λ1的单位特征向量，则矩阵A—λ1α1α11必有两个特征值是_______．

admin2018-07-18  63
问题 设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，α1是属于λ1的单位特征向量，则矩阵A—λ1α1α11必有两个特征值是_______．
选项
答案0，λ2．
解析 本题考查矩阵A的特征值与特征向量的概念及用定义求特征值与特征向量的求法．
设α2为矩阵A的属于λ2的特征向量，由于λ2，λ2为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，则α1Tα2=0．又α1为单位向量，则α1Tα1=1．
又(A—λ1α1Tα1)α1
=Aα1—λ1α1α1Tα1=λ1α1—λ1α1(α1Tα1)
=λ1α1—λ1α1
=0α1，(A—λ1α1Tα1)α2
=λα2一λ1α1α1Tα2
=λ2α2一λ1α1(α1Tα2)
=λ2α2—0.λ1α1=λ2α2．
从而得A—λ1α1α1T的两个特征值为0，λ2．故应填0，λ2．
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考研数学二

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