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设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角矩阵.
设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角矩阵.
admin
2016-04-11
21
问题
设n阶矩阵
(1)求A的特征值和特征向量;
(2)求可逆矩阵P,使P
—1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)1° 当b≠0时,|λE一A|=[*]=[λ一1一(n一1)b][λ一(1—b)]
n—1
,故A的特征值为λ
1
=1+(n一1)6,λ
2
=…=λ
n
=1—b. 对于λ
1
=1+(n一1)b,设对应的一个特征向量为ξ
1
,则 [*]ξ
1
=[1+(n一1)ξ
1
解得ξ
1
=(1,1,…,1)
T
,所以,属于λ
1
的全部特征向量为 kξ
1
=k(1,1,…,1)
T
,其中k为任意非零常数. 对于λ
2
=…=λ
n
=1—b,解齐次线性方程组[(1—b)E一A]x=0.由 [*] 解得基础解系为ξ
2
=(1,一1,0,…,0)
T
,ξ
3
=(1,0,一1,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,一1)
T
.故属于λ
2
=…=ξ
n
的全部特征向量为 k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
,其中k
2
,k
3
,…,k
n
为不全为零的任意常数. 2° 当b=0时,A=E,A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=1,任意n维非零列向量均是特征向量. (2)1° 当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量,令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
… ξ
n
],则有 P
—1
AP=diag(1+(n一1)b,1—b,…,1—b). 2。 当b=0时,A=E,对任意n阶可逆矩阵P,均有P
—1
AP=E.
解析
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