设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A-1｜，则至少存在一点x0∈(0，1)，使得y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线( )

admin2021-12-14 52

问题设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A^-1｜，则至少存在一点x₀∈(0，1)，使得y=f(x)在(x₀，f(x₀))处的切线( )

选项 A、平行于直线y=1
B、垂直于直线y=1
C、平行于直线y=x
D、垂直于直线y=x

答案C

解析由已知，有｜A｜=λ₁λ₂λ₃=1，｜A^-1｜=1，故f(0)=｜-A｜-｜A^-1｜=(-1)³｜A｜-｜A^-1｜=-｜A｜-｜A^-1｜=-2，f(1)=｜E-A｜-｜A^-1｜=0-1=-1，由拉格朗日中值定理，可知至少存在一点x₀∈(0，1)，使得f’(x₀)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=[-1-(-2)]/(1-0)=1，故C正确。

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