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设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint,y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域; (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。
设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint,y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域; (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。
admin
2022-04-08
83
问题
设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint,y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。
(Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域;
(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。
选项
答案
(Ⅰ)证明:由已知可得 φ’(t)=1-cost≥0,φ(0)=0,φ(2π)=2π, 则φ(t)在[0,2π]上单调增加,且值域为[φ(0),φ(2π)]=[0,2π]。 由x=φ(t)=t-sint在[0,2π]上连续可知其在[0,2π]上存在连续的反函数t=φ
-1
(x),且定义域为[0,2π]。所以y(x)=ψ[φ
-1
(x)]在[0,2π]上连续。 (Ⅱ)由旋转体的体积公式(绕y轴旋转),有 V=2π∫
0
2π
xydx=2π∫
0
2π
(t-sint)(1-cost)
2
dt=2π∫
0
2π
t(1-cost)
2
dt, 令t=2π-s,则 V=2π∫
0
2π
(2π-s)(1-coss)
2
ds=4π
2
∫
0
2π
(1-coss)
2
ds-V, [*] 上式中,∫
0
2π
sint(1-cost)
2
dt=∫
-π
π
sint(1-cost)
2
dt=0由周期函数与奇函数的积分性质直接得出。 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qbf4777K
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考研数学二
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