设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx，其中A有特征值λ1，λ2，…，λn且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有λ1xTx≤xTAx≤λnxTx；

admin2021-07-27 28

问题设n元实二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TAx，其中A有特征值λ₁，λ₂，…，λ_n且满足λ₁≤λ₂≤…≤λ_n．证明对任何n维列向量x，有λ₁x^Tx≤x^TAx≤λ_nx^Tx；

选项

答案f(x₁，x₂，…，x_n)是实二次型，有正交变换x=Qy，其中Q是正交矩阵，使得 [*] 因λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，故得λ₁(y₁²+y₂²+…+y_n²)≤λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+A_ny_n²≤λ_n(y₁²+y₂²+…+y_n²)．因x=Qy，其中Q是正交矩阵，Q^TQ=E，故x^Tx=(Qy)^TQy=y^TQ^TQy=y^Ty，故有λ₁x^Tx≤x^TAx≤λ_nx^Tx．

解析

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