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设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx，其中A有特征值λ1，λ2，…，λn且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有λ1xTx≤xTAx≤λnxTx；
设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx，其中A有特征值λ1，λ2，…，λn且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有λ1xTx≤xTAx≤λnxTx；
admin
2021-07-27
55
问题
设n元实二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=x
T
Ax，其中A有特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
n
且满足λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
．证明对任何n维列向量x，有λ
1
x
T
x≤x
T
Ax≤λ
n
x
T
x；
选项
答案
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)是实二次型，有正交变换x=Qy，其中Q是正交矩阵，使得 [*] 因λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
，故得λ
1
(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
)≤λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+A
n
y
n
2
≤λ
n
(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
)．因x=Qy，其中Q是正交矩阵，Q
T
Q=E，故x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
Q
T
Qy=y
T
y，故有λ
1
x
T
x≤x
T
Ax≤λ
n
x
T
x．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MGy4777K
0
考研数学二
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