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设n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,其中A有特征值λ1,λ2,…,λn且满足λ1≤λ2≤…≤λn.证明对任何n维列向量x,有λ1xTx≤xTAx≤λnxTx;
设n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,其中A有特征值λ1,λ2,…,λn且满足λ1≤λ2≤…≤λn.证明对任何n维列向量x,有λ1xTx≤xTAx≤λnxTx;
admin
2021-07-27
54
问题
设n元实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=x
T
Ax,其中A有特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
且满足λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
.证明对任何n维列向量x,有λ
1
x
T
x≤x
T
Ax≤λ
n
x
T
x;
选项
答案
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)是实二次型,有正交变换x=Qy,其中Q是正交矩阵,使得 [*] 因λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
,故得λ
1
(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
)≤λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+A
n
y
n
2
≤λ
n
(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
).因x=Qy,其中Q是正交矩阵,Q
T
Q=E,故x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
Q
T
Qy=y
T
y,故有λ
1
x
T
x≤x
T
Ax≤λ
n
x
T
x.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MGy4777K
0
考研数学二
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