(1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证： (I)存在，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。

admin2019-05-11 56

问题 (1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，

试证：
(I)存在

，使f(η)=η；
(Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。

选项

答案(I)构造函数F(x)=f(x)一x，则F(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且[*]，F(1)=f(1)一1=0—1=一1＜0，所以由介值定理得，存在一点[*]，使得F(η)=f(η)一η=0，即存在一点[*]使得f(η)=η，原命题得证。 (Ⅱ)令 f’(x)一λ[f(x)一x]一1=0，解微分方程得f(x)=x+Ce^λx，即e^-λx(f(x)一x)=C，令 G(x)=e^-λx[f(x)一x]。因为 G(0)=e⁰(f(0)一0)=0，G(η)=e^-λη(f(η)一η)=0，所以，在(0，η)上由罗尔定理知，必然存在点ξ∈(0，η)，使得G’(ξ)=0，即 G’(ξ)=一λe^-λξ(f(ξ)一ξ)+e^-λξ(f’(ξ)一1) =e^-λξ(一λf(ξ)+λξ+f’(ξ)一1)=0，即 f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。

解析

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考研数学三

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(1999年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证： (I)存在，使f(η)=η； (Ⅱ)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。

考研数学三

设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码。(Ⅰ)求X的分布律；(Ⅱ)若当X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量y在[0，k]上服从均匀分布，求P{Y≤2}。

设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是()．

用变量代换x＝lnt将方程＋e2xy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

设矩阵A＝为A对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A的特征值；(2)判断A可否对角化．

一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为(k＝1，2，3)，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X＝2)＝______．

(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)

当x∈[0，1]时，由[]积分得[]而[]由夹逼定理得[]

设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求

设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞>1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若求：f(x)的极值．

(2004年)设有以下命题：则以上命题中正确的是()

前房角

关于检察官职业道德和纪律，下列哪一做法是正确的？(2014年卷一第47题)

耙吸挖泥船施工中应根据()调节波浪补偿器的压力，以保持耙头对地有合适的压力。

路基填土施工，应按(　　)的横坡整平压实，以防积水。

CFRExShip’sHoldHONGKONG是指卖方必须把货运到香港，在舱底交货。()

蒙古族群众喜爱()。

【2013年青岛市属】终身教育是人生各阶段当中所受各种教育的总和，也是人所受的不同类型教育的总和。()

HowcanBritainreacttothethreatscomingfromRussiaaswellasfromthedevelopingcountries?Thereisalimit,ofcourse,t

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设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是()．

用变量代换x＝lnt将方程＋e2xy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

设矩阵A＝为A*对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A*的特征值；(2)判断A可否对角化．

一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为(k＝1，2，3)，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X＝2)＝______．

(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)

当x∈[0，1]时，由[*]积分得[*]而[*]由夹逼定理得[*]

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(2004年)设有以下命题：则以上命题中正确的是()

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关于检察官职业道德和纪律，下列哪一做法是正确的？(2014年卷一第47题)

耙吸挖泥船施工中应根据()调节波浪补偿器的压力，以保持耙头对地有合适的压力。

路基填土施工，应按( )的横坡整平压实，以防积水。

CFRExShip’sHoldHONGKONG是指卖方必须把货运到香港，在舱底交货。()

蒙古族群众喜爱()。

【2013年青岛市属】终身教育是人生各阶段当中所受各种教育的总和，也是人所受的不同类型教育的总和。()

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设矩阵A＝为A对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A的特征值；(2)判断A可否对角化．

当x∈[0，1]时，由[]积分得[]而[]由夹逼定理得[]

路基填土施工，应按(　　)的横坡整平压实，以防积水。