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(1999年)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证: (I)存在,使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。
(1999年)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,试证: (I)存在,使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。
admin
2019-05-11
105
问题
(1999年)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,
试证:
(I)存在
,使f(η)=η;
(Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。
选项
答案
(I)构造函数F(x)=f(x)一x,则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且[*],F(1)=f(1)一1=0—1=一1<0, 所以由介值定理得,存在一点[*],使得F(η)=f(η)一η=0,即存在一点[*]使得f(η)=η,原命题得证。 (Ⅱ)令 f’(x)一λ[f(x)一x]一1=0, 解微分方程得f(x)=x+Ce
λx
,即e
-λx
(f(x)一x)=C,令 G(x)=e
-λx
[f(x)一x]。 因为 G(0)=e
0
(f(0)一0)=0,G(η)=e
-λη
(f(η)一η)=0, 所以,在(0,η)上由罗尔定理知,必然存在点ξ∈(0,η),使得G’(ξ)=0,即 G’(ξ)=一λe
-λξ
(f(ξ)一ξ)+e
-λξ
(f’(ξ)一1) =e
-λξ
(一λf(ξ)+λξ+f’(ξ)一1)=0, 即 f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1。
解析
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考研数学三
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