2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续 函数，且∫abφ(x)dx＝1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续 函数，且∫abφ(x)dx＝1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

admin2018-01-23  56
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续
函数，且∫abφ(x)dx＝1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．
选项
答案因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x－x0)． 取x0＝∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx＝1，于 是有a≤∫abxφ(x)dx＝x0≤b把x0＝∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)＋ f’(x0)(x－x0) 中，再由φ(x)≥0，得 f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)＋f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．
解析
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考研数学三

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