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设A=,X是2阶方阵. (Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X; (Ⅱ)方程AX一XA=E,其中E是2阶单位阵.问方程是否有解?若有解,求满足方程的所有X;若无解,说明理由.
设A=,X是2阶方阵. (Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X; (Ⅱ)方程AX一XA=E,其中E是2阶单位阵.问方程是否有解?若有解,求满足方程的所有X;若无解,说明理由.
admin
2018-03-30
50
问题
设A=
,X是2阶方阵.
(Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X;
(Ⅱ)方程AX一XA=E,其中E是2阶单位阵.问方程是否有解?若有解,求满足方程的所有X;若无解,说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)用待定元素法求X.设X=[*],代入方程,得 [*] 取x
3
=2k
1
,得x
2
=一k
1
.取x
4
=k
2
,得x
1
=k
2
. 故X=[*],其中k
1
,k
2
是任意常数. (Ⅱ)法一 AX一X4=E,设X=[*],由(Ⅰ)得 [*] 显然方程组中第1个和第4个方程相互矛盾,故矩阵方程AX一XA=E无解. 法二 由(Ⅰ)易知tr(AX)=tr(XA),故 tr(AX一XA)=tr(AX)一tr(XA)=0≠tr(E)=2. 故矩阵方程AX一XA=E无解.
解析
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考研数学三
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