设A=，X是2阶方阵． (Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X； (Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2阶单位阵．问方程是否有解?若有解，求满足方程的所有X；若无解，说明理由．

admin2018-03-30 82

问题设A=

，X是2阶方阵．
(Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X；
(Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2阶单位阵．问方程是否有解?若有解，求满足方程的所有X；若无解，说明理由．

选项

答案(Ⅰ)用待定元素法求X．设X=[*]，代入方程，得 [*] 取x₃=2k₁，得x₂=一k₁．取x₄=k₂，得x₁=k₂．故X=[*]，其中k₁，k₂是任意常数． (Ⅱ)法一 AX一X4=E，设X=[*]，由(Ⅰ)得 [*] 显然方程组中第1个和第4个方程相互矛盾，故矩阵方程AX一XA=E无解．法二由(Ⅰ)易知tr(AX)=tr(XA)，故 tr(AX一XA)=tr(AX)一tr(XA)=0≠tr(E)=2．故矩阵方程AX一XA=E无解．

解析

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考研数学三

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设A=，X是2阶方阵． (Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X； (Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2阶单位阵．问方程是否有解?若有解，求满足方程的所有X；若无解，说明理由．

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