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[2016年]设矩阵当a为何值时，方程组AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时求出方程组的解．

admin2021-01-15  21
问题 [2016年]设矩阵当a为何值时，方程组AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时求出方程组的解．
选项
答案用初等行变换将A化为阶梯形： [*] (1)当a≠一2且a≠1时，秩（A）=秩([A┆B])=3，方程组AX=B有唯一解． 先解AX1=b1，因 [*] 故AX1=b1的唯一解为X1=[1，0，一1]T． 再解AX2=b2．同法，由 [*] 得AX2=b2的唯一解为X2=[*]. 综上所述，当a≠一2且a≠1时；AX=B的唯一解为X=[X1，X2]=[*] (2)当a=1时，秩（A）=秩([A┆B])=2＜n=3，方程组AX=B有无穷多解．由 [*] 得到 AX1=b1， [*] AX2=b2，[*] 由基础解系和特解的简便求法即得： A1=0的基础解系为α1=[0，一1，1]T，AX1=b1的特解为β1=[1，一1，0]T，其通解为 X1=k1α1+β1； AX2=0的基础解系为α2=[0，一1，1]T，AX2=b2的特解为β2=[1，一1，0]T，其通解为 X2=k2α2+β2． 综上所述，AX=B的通解为 X=[X1，X2]=[k1α1+β1，k2α2+β2]=[*] 其中k1，k2为任意常数． (3)当a=一2时，[*]．因AX2=b2，秩([A┆b2])=3＞秩（A）=2，故AX2=b2无解，因而当a=一2时，AX=B无解．
解析
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考研数学一

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