设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 ( )

admin2019-07-12 63

问题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 ( )

选项 A、λE—A=λE一B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE一A与tE一B相似

答案D

解析 A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B成立，则
tE一B=tE一P^-1AP=P^-1(tE)P—P^-1AP=P^-1(tE一A)P，即tE一A与tE一B相似，选(D)．对于(A)，由λE一A=λE一B，有A=B；对于(B)，A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)，A与B不一定能够相似对角化．

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