设A是n阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.

admin2018-04-15  53

问题 设A是n阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.

选项

答案方法一 因为A是正定矩阵,所以存在正交阵Q,使得[*] 其中λ1>0,λ2>0,…,λn>0,因此[*] 于是|QT(A+E)Q|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)>1. 方法二 因为A是正定矩阵,所以A的特征值λ1>0,λ2>0,…,λn>0,因此A+E的特征值为λ1+l>1,λ2+1>1,…,λn+1>1,故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)>1.

解析
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