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考研
设A是n阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.
设A是n阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.
admin
2018-04-15
97
问题
设A是n阶正定矩阵,证明:|E+A|>1.
选项
答案
方法一 因为A是正定矩阵,所以存在正交阵Q,使得[*] 其中λ
1
>0,λ
2
>0,…,λ
n
>0,因此[*] 于是|Q
T
(A+E)Q|=|A+E|=(λ
1
+1)(λ
2
+1)…(λ
n
+1)>1. 方法二 因为A是正定矩阵,所以A的特征值λ
1
>0,λ
2
>0,…,λ
n
>0,因此A+E的特征值为λ
1
+l>1,λ
2
+1>1,…,λ
n
+1>1,故|A+E|=(λ
1
+1)(λ
2
+1)…(λ
n
+1)>1.
解析
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考研数学三
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