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设f(x)具有二阶导数,且f"(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续,试证明:
设f(x)具有二阶导数,且f"(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续,试证明:
admin
2015-08-14
38
问题
设f(x)具有二阶导数,且f"(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续,试证明:
选项
答案
由条件f"(x)>0,想到将f(x)在某x
0
处展成拉格朗日余项泰勒公式,然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之. 由泰勒公式 f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*]f"(ξ)(x—x
0
)
2
≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x一x
0
),ξ介于x与x
0
之间. 以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分,其中暂设a>0,于是有 ∫
0
a
f(u(t))dt≥af(x
0
)+f’(x
0
)(∫
0
a
u(t)dt-x
0
a). [*] 若a<0,则有 ∫
0
a
f(u(t))dt≤af(x
0
)+f’(x
0
)(∫
0
a
u(t)dt-x
0
a). [*]
解析
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0
考研数学二
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