设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：

admin2015-08-14 70

问题设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：

选项

答案由条件f"(x)＞0，想到将f(x)在某x₀处展成拉格朗日余项泰勒公式，然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之．由泰勒公式 f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+[*]f"(ξ)(x—x₀)² ≥f(x₀)+f’(x₀)(x一x₀)，ξ介于x与x₀之间．以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有 ∫₀^af(u(t))dt≥af(x₀)+f’(x₀)(∫₀^au(t)dt-x₀a)． [*] 若a＜0，则有 ∫₀^af(u(t))dt≤af(x₀)+f’(x₀)(∫₀^au(t)dt-x₀a)． [*]

解析

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