2. 考研
  3. 设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：

设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：

admin2015-08-14  109
问题 设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：
选项
答案由条件f"(x)＞0，想到将f(x)在某x0处展成拉格朗日余项泰勒公式，然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之． 由泰勒公式 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*]f"(ξ)(x—x0)2 ≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，ξ介于x与x0之间． 以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有 ∫0af(u(t))dt≥af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a)． [*] 若a＜0，则有 ∫0af(u(t))dt≤af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a)． [*]
解析
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考研数学二

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