2. 考研
  3. (Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义； (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，

(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义； (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，

admin2022-04-10  89
问题 (Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；
    (Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y；
    (Ⅲ)举例说明(Ⅱ)的逆定理不成立．
选项
答案(Ⅰ)定义：设z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域U内有定义，(x0+△x，y0+△y)∈U．增量 △z=f(x0+△x，y0+△y)—f(x0，y0)[*]A△x+B△y+o(ρ)， (*) 其中A，B与△x和△y都无关，ρ=[*]=0，则称f(x，y)在点(x0，y0)处可微，并称 [*] 为z=f(x，y)在点(x0，y0)处的微分． (Ⅱ)设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则(*)式成立．令△y=0，于是 [*] (Ⅲ)当f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)存在时，z=f(x，y)在点(x0，y0)处未必可微．反例： [*] f’y(0，0)=0． 两个偏导数存在．以下用反证法证出f(x，y)在点(0，0)处不可微．若可微，则有 △f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+o(ρ)， [*] 极限值随k而异，(**)式不成立，所以不可微．
解析
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考研数学三

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