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已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1) T十k1 (1,0,2,1) T+k2 (2,1,1,—1) T. 令B=(α1,α2,α3),求Bx=6的通解;
已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1) T十k1 (1,0,2,1) T+k2 (2,1,1,—1) T. 令B=(α1,α2,α3),求Bx=6的通解;
admin
2019-08-26
42
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)
T
十k
1
(1,0,2,1)
T
+k
2
(2,1,1,—1)
T
.
令B=(α
1
,α
2
,α
3
),求Bx=6的通解;
选项
答案
先求Bx=0的基础解系,为此,首先要找出矩阵B的秩. 由题目的已知信息可知:Ax=0的基础解系中含有两个向量,故4—R(A)=2,即R(A)=2,而由(1,0,2,1)
T
是Ax=0的解,可得α
1
十2α
3
+α
4
=0,故α
4
=—α
1
—2α
3
.可知α
4
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故 R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=R(α
1
,α
2
,α
3
)=R(B),即R(B)=2. 因此,Bx=0的基础解系中仅含一个向量,求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系. 由于(1,0,2,1)
T
,(2,1,1,—1)
T
均为Ax=0的解,故它们的和(3,1,3,0)
T
也为Ax=0的解,可知3α
1
+α
2
+3α
3
=0,因此(3,l,3)
T
为Bx=0的解,也即(3,1,3)
T
为Bx=0的基础解系. 最后,再求Bx=b的任何一个特解即可.只需使得Ax=b的通解中α
1
的系数为0即可. 为此,令(1,1,l,1)
T
十k
1
(1,0,2,1)
T
+k
2
(2,1,l,—1)
T
中k
1
=0,k
2
=1,得(3,2,2,0)
T
是Ax=b的一个解,故(3,2,2)
T
是Bx=b的一个解. 可知Bx=b的通解为(3,2,2)
T
+k(3,1,3)
T
,k∈R
解析
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考研数学三
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