2. 考研
  3. (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)； Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)

(2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)； Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)

admin2018-07-24  32
问题 (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：
   Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；
   Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．
选项
答案令φ(x)=f(x)一g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若f(x)和g(x)在(a，b)内的同一点处c∈(a，b)取到其最大值，则φ(c)=f(c)一g(c)=0，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理知 [*]ξ1∈(a，c)，使φ’(ξ1)=0；[*]ξ2∈(c，b)，使φ’(ξ2)=0 对φ’(x)在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理得，[*]ξ∈(ξ1，ξ2)，使φ’’(ξ)=0 2)若f(x)和g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(x)和g(x)分别在x1和x2(x1＜x2)取到其在(a，b)内的最大值，则 φ(x1)=f(x1)一g(x1)＞0， φ(x2)=f(x2)一g(x2)＜0 由连续函数的介值定理知，[*]c∈(x1，x2)，使φ(c)=0．以下证明与1)相同．
解析
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考研数学三

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