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(2003年)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex. (1)求F(x)所满足的一阶方程; (2)求出F(x)
(2003年)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex. (1)求F(x)所满足的一阶方程; (2)求出F(x)
admin
2019-06-25
91
问题
(2003年)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件:
f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e
x
.
(1)求F(x)所满足的一阶方程;
(2)求出F(x)的表达式.
选项
答案
(1)由F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g
2
(x)+f
2
(x) =[f(x)+g(x)]
2x
一2f(x)g(x) =4e
2x
一2F(x) 则F(x)所满足的一阶方程为 F’(x)+2F(x)=4e
2x
(2)方程F’(x)+2F(x)=4e
2x
是一个一阶线性方程,由求解公式得 F(x)=e
-∫2dx
[∫4e
2x
.e
∫2dx
+C] =e
2x
+Ce
-2x
将 F(0)=f(0)g(0)=0代入上式得 C=一1 故 F(x)=e
2x
一e
-2x
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MUJ4777K
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考研数学三
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