2. 考研
  3. (2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex． (1)求F(x)所满足的一阶方程； (2)求出F(x)

(2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex． (1)求F(x)所满足的一阶方程； (2)求出F(x)

admin2019-06-25  95
问题 (2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件：
    f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．
(1)求F(x)所满足的一阶方程；
(2)求出F(x)的表达式．
选项
答案 (1)由F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2x一2f(x)g(x) =4e2x一2F(x) 则F(x)所满足的一阶方程为 F’(x)+2F(x)=4e2x (2)方程F’(x)+2F(x)=4e2x是一个一阶线性方程，由求解公式得 F(x)=e－∫2dx[∫4e2x.e∫2dx+C] =e2x+Ce－2x 将 F(0)=f(0)g(0)=0代入上式得 C=一1 故 F(x)=e2x一e－2x
解析
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考研数学三

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