(14年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12－χ22＋2aχ1χ3＋4χ2χ3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．

admin2021-01-25 72

问题 (14年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ₁²－χ₂²＋2aχ₁χ₃＋4χ₂χ₃的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．

选项

答案[－2，2]

解析对f配方，可得
f(χ₁＋aχ₃)²－(χ₂－2χ₃)²＋(4－a²)χ₃²
于是f可经可逆线性变换

化成标准形
f＝z₁²－z₂²＋(4－a²)z₃²
若4－a²＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；
若4－a²≥0，则f的负惯性指数为1．
因此，当且仅当4－a²≥0，即｜a｜≤2时，f的负惯性指数为1．

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