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对于一切实数t,函数f(t)为连续的正函数且可导,又f(-t)=f(t),设g(χ)=∫-aa|χ-t|f(t)dt,a>0,χ∈[-a,a]. (Ⅰ)证明g′(χ)单调增加; (Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ; (Ⅲ)将g(χ)
对于一切实数t,函数f(t)为连续的正函数且可导,又f(-t)=f(t),设g(χ)=∫-aa|χ-t|f(t)dt,a>0,χ∈[-a,a]. (Ⅰ)证明g′(χ)单调增加; (Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ; (Ⅲ)将g(χ)
admin
2019-06-25
76
问题
对于一切实数t,函数f(t)为连续的正函数且可导,又f(-t)=f(t),设g(χ)=∫
-a
a
|χ-t|f(t)dt,a>0,χ∈[-a,a].
(Ⅰ)证明g′(χ)单调增加;
(Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ;
(Ⅲ)将g(χ)的最小值当作a的函数,使其等于f(a)-a
2
-1,求f(χ).
选项
答案
(Ⅰ)因为g(χ)=∫
-a
a
|χ-t|f(t)dt=∫
-a
χ
(χ-t)f(t)dt+∫
χ
a
(t-χ)f(t)dt =χ∫
-a
χ
f(t)dt-∫
-a
χ
tf(t)dt+∫
χ
a
tf(t)dt-χ∫
χ
a
f(χ)dt, 且f(t)连续,故上式右边可导,于是 g′(χ)=∫
-a
χ
f(t)dt+χf(χ)-χf(χ)-χf(χ)-∫
χ
a
f(t)dt+χf(χ)=∫
-a
χ
f(t)dt+∫
a
χ
f(t)dt, g〞(χ)=2f(χ), 因为f(χ)>0,知g〞(χ)>0,由此可得出g′(χ)为单调增函数. (Ⅱ)令g′(χ)=0,即∫
-a
χ
f(t)dt+∫
a
χ
f(t)dt=0. 令t=-μ,dt=-dμ,并注意到f(-t)=f(t),则 ∫
-a
χ
f(t)dt=-∫
a
-χ
f(-μ)dμ=∫
-χ
a
f(μ)dμ=∫
-χ
a
f(t)dt, 因此∫
-a
χ
f(t)dt+∫
a
χ
f(t)dt=∫
-χ
a
f(t)dt+∫
a
χ
f(t)dt=∫
-χ
χ
f(t)dt=0,即2∫
0
χ
f(t)dt=0. 又因为f(t)>0,故χ=0.由(Ⅰ)可知g〞(0)=2f(0)>0,则g(χ)在χ=0点取得最小值,最小值为 g(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt. (Ⅲ)由2∫
0
a
f(t)dt=f(a)-a
2
-1,将上式两边对a求导,则有2af(a)=f′(a)-2a, 即[*]=2a,则有[*]=2χ,两边积分得ln[f(χ)+1]=χ
2
+c; 由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)-a
2
-1,知f(0)=1,则c=ln2, 于是得f(χ)+1=2[*],即f(χ)=2[*]-1.
解析
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考研数学三
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