2. 考研
  3. 对于一切实数t，函数f(t)为连续的正函数且可导，又f(－t)＝f(t)，设g(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt，a＞0，χ∈[－a，a]． (Ⅰ)证明g′(χ)单调增加； (Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ； (Ⅲ)将g(χ)

对于一切实数t，函数f(t)为连续的正函数且可导，又f(－t)＝f(t)，设g(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt，a＞0，χ∈[－a，a]． (Ⅰ)证明g′(χ)单调增加； (Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ； (Ⅲ)将g(χ)

admin2019-06-25  51
问题 对于一切实数t，函数f(t)为连续的正函数且可导，又f(－t)＝f(t)，设g(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt，a＞0，χ∈[－a，a]．
    (Ⅰ)证明g′(χ)单调增加；
    (Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ；
    (Ⅲ)将g(χ)的最小值当作a的函数，使其等于f(a)－a2－1，求f(χ)．
选项
答案(Ⅰ)因为g(χ)＝∫－aa｜χ－t｜f(t)dt＝∫－aχ(χ－t)f(t)dt＋∫χa(t－χ)f(t)dt ＝χ∫－aχf(t)dt－∫－aχtf(t)dt＋∫χatf(t)dt－χ∫χaf(χ)dt， 且f(t)连续，故上式右边可导，于是 g′(χ)＝∫－aχf(t)dt＋χf(χ)－χf(χ)－χf(χ)－∫χaf(t)dt＋χf(χ)＝∫－aχf(t)dt＋∫aχf(t)dt， g〞(χ)＝2f(χ)， 因为f(χ)＞0，知g〞(χ)＞0，由此可得出g′(χ)为单调增函数． (Ⅱ)令g′(χ)＝0，即∫－aχf(t)dt＋∫aχf(t)dt＝0． 令t＝－μ，dt＝－dμ，并注意到f(－t)＝f(t)，则 ∫－aχf(t)dt＝－∫a－χf(－μ)dμ＝∫－χaf(μ)dμ＝∫－χaf(t)dt， 因此∫－aχf(t)dt＋∫aχf(t)dt＝∫－χaf(t)dt＋∫aχf(t)dt＝∫－χχf(t)dt＝0，即2∫0χf(t)dt＝0． 又因为f(t)＞0，故χ＝0．由(Ⅰ)可知g〞(0)＝2f(0)＞0，则g(χ)在χ＝0点取得最小值，最小值为 g(0)＝∫－aa｜t｜f(t)dt＝2∫0atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫0af(t)dt＝f(a)－a2－1，将上式两边对a求导，则有2af(a)＝f′(a)－2a， 即[*]＝2a，则有[*]＝2χ，两边积分得ln[f(χ)＋1]＝χ2＋c； 由2∫0atf(t)dt＝f(a)－a2－1，知f(0)＝1，则c＝ln2， 于是得f(χ)＋1＝2[*]，即f(χ)＝2[*]－1．
解析
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考研数学三

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