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设x∈(0,1),证明不等式: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2;
设x∈(0,1),证明不等式: (1)(1+x)ln2(1+x)<x2;
admin
2018-09-20
32
问题
设x∈(0,1),证明不等式:
(1)(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
;
选项
答案
(1)令φ(x)=x
2
一(1+x)ln
2
(1+x),有φ(0)=0,且 φ’(x)=2x—ln
2
(1+x)一2ln(1+x),φ’(0)=0. 当x∈(0,1)时,φ"(x)=[*][x一ln(1+x)]>0,知φ’(x)单调递增,从而φ’(x)>φ’(0)=0,知φ(x)单调递增,则φ(x)>φ(0)=0,即(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
. [*] 由(1)得,当x∈(0,1)时,f’(x)<0,知f(x)单调递减,从而f(x)>f(1)=[*] 因为 [*] 又当x∈(0,1)时,f(x)单调递减,则[*],所以 [*]
解析
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考研数学三
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