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  3. 设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．

设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．

admin2021-11-15  33
问题 设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．
选项
答案方法一 因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得QTAQ=[*] 其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A+E)Q=[*] 于是|QT(A+E)Q|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1． 方法二 因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征 值为λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．
解析
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考研数学二

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