设A是n阶正定矩阵，证明：对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵。

admin2019-09-29 37

问题设A是n阶正定矩阵，证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵。

选项

答案首先A^T=A,因为（P^TAP)^T=P^TA^T(P^T)^T=P^TAP，所以P^TAP为对称矩阵，对任意的X≠0，X^T(P^TAP)X=(PX)^TA(PX),令PX=a,因为P可逆且X≠0，所以a≠0,又因为A为正定矩阵，所以a^TAa＞0,即X^T(P^TAP)X＞0，故X^T（P^TAP)X为正定二次型，于是P^TAP为正定矩阵。

解析

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