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设A是n阶正定矩阵,证明:对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵。
设A是n阶正定矩阵,证明:对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵。
admin
2019-09-29
57
问题
设A是n阶正定矩阵,证明:对任意的可逆矩阵P,P
T
AP为正定矩阵。
选项
答案
首先A
T
=A,因为(P
T
AP)
T
=P
T
A
T
(P
T
)
T
=P
T
AP,所以P
T
AP为对称矩阵,对任意的X≠0,X
T
(P
T
AP)X=(PX)
T
A(PX),令PX=a,因为P可逆且X≠0,所以a≠0,又因为A为正定矩阵,所以a
T
Aa>0,即X
T
(P
T
AP)X>0,故X
T
(P
T
AP)X为正定二次型,于是P
T
AP为正定矩阵。
解析
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考研数学二
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