已知四阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,且α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组AX=β的通解.

admin2019-05-08  60

问题 已知四阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,且α1=2α2-α3.如果β=α1234,求线性方程组AX=β的通解.

选项

答案解一 因α2,α3,α4线性无关及α1=2α2-α3=2α2-α3+0α4,故秩([α1,α2,α3,α4])=秩(A)=3.于是AX=0的一个基础解系只包含一个解向量,将AX=0及AX=β分别写成列向量组的形式,即 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0, ① x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β. ② 今已知 α1—2α231—2α23+0α4=0, ③ 将式③与式①比较知,齐次方程组①的一个解向量为α=[1,-2,1,0]T. 又将α1234=β与方程组②比较知,方程组②的一个特解为η=[1,1,1,1]T,故AX=β的通解为 kα+η=k[1,-2,1,0]T+[1,1,1,1,1] (k为任意常数). 解二 令X=[x1,x2,x3,x4]T,则由AX=[α1,α2,α3,α4][x1,x2,x3,x4]T=β得到 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β=α1234. 将α1=2α2-α3代入上式整理后,得到 (2x1+x2-3)α2+(-x1+x33+(x4-1)α4=0. 因α2,α3,α4线性无关,故 [*] 因[*]由基础解系的简便求法即得方程组④对应的齐次方程组的基础解系仅含一个解向量α=[1,-2,1,0]T,方程组④的一个特解为β=[0,3,0,1]T,故方程组④即原方程组的通解为 X=cα+β=c[1,-2,1,0]T+[0,3,0,1]T, c为任意常数.

解析
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