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  3. 已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，且α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，且α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

admin2019-05-08  48
问题 已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，且α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．
选项
答案解一 因α2，α3，α4线性无关及α1=2α2－α3=2α2－α3+0α4，故秩([α1，α2，α3，α4])=秩(A)=3．于是AX=0的一个基础解系只包含一个解向量，将AX=0及AX=β分别写成列向量组的形式，即 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0， ① x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β． ② 今已知 α1—2α2+α3=α1—2α2+α3+0α4=0， ③ 将式③与式①比较知，齐次方程组①的一个解向量为α=[1，－2，1，0]T． 又将α1+α2+α3+α4=β与方程组②比较知，方程组②的一个特解为η=[1，1，1，1]T，故AX=β的通解为 kα+η=k[1，－2，1，0]T+[1，1，1，1，1] (k为任意常数)． 解二 令X=[x1，x2，x3，x4]T，则由AX=[α1，α2，α3，α4][x1，x2，x3，x4]T=β得到 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β=α1+α2+α3+α4． 将α1=2α2－α3代入上式整理后，得到 (2x1+x2－3)α2+(－x1+x3)α3+(x4－1)α4=0． 因α2，α3，α4线性无关，故 [*] 因[*]由基础解系的简便求法即得方程组④对应的齐次方程组的基础解系仅含一个解向量α=[1，－2，1，0]T，方程组④的一个特解为β=[0，3，0，1]T，故方程组④即原方程组的通解为 X=cα+β=c[1，－2，1，0]T+[0，3，0，1]T， c为任意常数．
解析
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考研数学三

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