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已知四阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,且α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组AX=β的通解.
已知四阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,且α1=2α2-α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组AX=β的通解.
admin
2019-05-08
75
问题
已知四阶方阵A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为四维列向量,其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关,且α
1
=2α
2
-α
3
.如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求线性方程组AX=β的通解.
选项
答案
解一 因α
2
,α
3
,α
4
线性无关及α
1
=2α
2
-α
3
=2α
2
-α
3
+0α
4
,故秩([α
1
,α
2
,α
3
,α
4
])=秩(A)=3.于是AX=0的一个基础解系只包含一个解向量,将AX=0及AX=β分别写成列向量组的形式,即 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0, ① x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β. ② 今已知 α
1
—2α
2
+α
3
=α
1
—2α
2
+α
3
+0α
4
=0, ③ 将式③与式①比较知,齐次方程组①的一个解向量为α=[1,-2,1,0]
T
. 又将α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=β与方程组②比较知,方程组②的一个特解为η=[1,1,1,1]
T
,故AX=β的通解为 kα+η=k[1,-2,1,0]
T
+[1,1,1,1,1] (k为任意常数). 解二 令X=[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
]
T
,则由AX=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
][x
1
,x
2
,x
3
,x
4
]
T
=β得到 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
. 将α
1
=2α
2
-α
3
代入上式整理后,得到 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0. 因α
2
,α
3
,α
4
线性无关,故 [*] 因[*]由基础解系的简便求法即得方程组④对应的齐次方程组的基础解系仅含一个解向量α=[1,-2,1,0]
T
,方程组④的一个特解为β=[0,3,0,1]
T
,故方程组④即原方程组的通解为 X=cα+β=c[1,-2,1,0]
T
+[0,3,0,1]
T
, c为任意常数.
解析
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考研数学三
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