下列命题中,(1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A一1=B. (2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E. (3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆. (4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆.正确的是(

admin2020-03-01  28

问题 下列命题中,(1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A一1=B.
(2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E.
(3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆.
(4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆.正确的是(    )

选项 A、(1)(2).
B、(1)(4).
C、(2)(3).
D、(2)(4).

答案D

解析 如果A、B均为n阶矩阵,命题(1)当然正确,但是题中没有n阶矩阵这一条件,故(1)不正确.
例如显然A不可逆.若A、B为n阶矩阵,(AB)2=E,即(AB)(AB)=E,则可知A、B均可逆,于是ABA=B一1,从而BABA=E.即(BA)2=E.因此(2)正确.若设显然A、B都不可逆,但可逆,可知(3)不正确.
由于A、B均为n阶不可逆矩阵,知|A|=|B|=0,且结合行列式乘法公式,有|AB|=|A||B|=0,故AB必不可逆.(4)正确.所以应选D.
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