已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导。且f(0)=0,f(1)=1. 证明: (1)存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=1—ξ; (2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1)使得f’(η)f’(ζ)=1.

admin2021-01-19  39

问题 已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导。且f(0)=0,f(1)=1.
证明:
    (1)存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=1—ξ;
    (2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1)使得f’(η)f’(ζ)=1.

选项

答案(1)令F(x)=f(x)-1+x,则F(x)在[0.1]上连续,且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在ξ∈(0,1)使得F(∈)=0,即f(ξ)=1-ξ. (2)在[0,ξ]和[ξ,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得[*] 于是[*]

解析 (1)显然用闭区间上连续函数的介值定理;(2)为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用(1)的结论.
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