设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,又a1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (I)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩

admin2014-07-06  60

问题 设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,又a1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
    (I)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
    (Ⅱ)求矩阵B.

选项

答案(Ⅰ)容易验证Ana11na1(n=1,2,3,…), 于是Ba1=(A5+4A3+E)a1=(λ15-4λ13+1)a1=-2a1. 于是-2是矩阵B的特征值,k1a1是B属于特征值-2的全部特征向量(k1∈R,非零). 同理可求得矩阵B的另外两个特征值1,1; 因为A为实对称矩阵,则B也为实对称矩阵,于是矩阵B属于不同特征值的特征向量正 交.设B的属于1的特征向量为(x1,x2,x3)T,则有方程x1-x2+x3=0, 于是求得B的属于1的全部特征向量为β=k2a2+k3a3,其中 a2=(-1,0,1)T,a3=(1,1,0)T,k2,k3∈R,不全为零. (Ⅱ)令矩阵P=(a1a2,a3)=[*],则P1BP=diag(-2,1,1),于是 B=P*diag(-2,1,1)P-1=[*]

解析
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