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  3. 下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( )

下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( )

admin2017-09-07  45
问题 下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 设4个答案中的矩阵依次为A，B，C，D，则｜λE-A｜==0，得λ1=1，λ2=2，λ3=3，因它有3个不同的特征值，则必可对角化，故可排除A；
又    ｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-2)=0，
得λ1=λ2=1，λ3=2，B是否可对角化取决于λ1=λ2=1时，方程组(E-B)X=0的基础解系是否含2个解向量．由E-B=知R(E-B)=2，故方程组(E-B)X=0的基础解系只含1个解向量，此时B只有两个线性无关的特征向量，而B是3阶矩阵，故B不能相似于对角矩阵，所以选择B．
选项C中矩阵为实对称矩阵，故一定可相似对角化，所以不选择C．
选项D：｜λE-D｜==(λ-1)2(λ-2)=0，
得λ1=λ2=1，λ3=2，D是否可对角化取决于对λ1=λ2=1，方程组(E-D)X=0的基础解系是否含2个解向量，由E-D=知R(E-D)=1，故方程组(E-D)X=0的基础解系含2个解向量，则D可相似对角化，所以排除D．
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考研数学一

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