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考研
下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( )
下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( )
admin
2017-09-07
17
问题
下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
设4个答案中的矩阵依次为A,B,C,D,则|λE-A|=
=0,得λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=3,因它有3个不同的特征值,则必可对角化,故可排除A;
又 |λE-B|=
=(λ-1)
2
(λ-2)=0,
得λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=2,B是否可对角化取决于λ
1
=λ
2
=1时,方程组(E-B)X=0的基础解系是否含2个解向量.由E-B=
知R(E-B)=2,故方程组(E-B)X=0的基础解系只含1个解向量,此时B只有两个线性无关的特征向量,而B是3阶矩阵,故B不能相似于对角矩阵,所以选择B.
选项C中矩阵为实对称矩阵,故一定可相似对角化,所以不选择C.
选项D:|λE-D|=
=(λ-1)
2
(λ-2)=0,
得λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=2,D是否可对角化取决于对λ
1
=λ
2
=1,方程组(E-D)X=0的基础解系是否含2个解向量,由E-D=
知R(E-D)=1,故方程组(E-D)X=0的基础解系含2个解向量,则D可相似对角化,所以排除D.
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考研数学一
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