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  3. 设二次型xTAx=+++2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A－3E)6．

设二次型xTAx=+++2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A－3E)6．

admin2015-05-07  79
问题 设二次型xTAx=+++2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B=
    (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；
    (Ⅱ)求(A－3E)6．
选项
答案(Ⅰ)由AB=[*]=0知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量． 记α1=[*]，α2=[*]，则Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2 由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α1，α2是λ=0的线性无关的特征向量． 根据∑λi=∑aii有0+0+λ3=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6． 设λ=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互 正交，有 [*] 解出α3=(1，2，－1)T对α1，α2正交化，令β1=(1，0，1)T，则 β2=α2－[*]=(2，－1，0)T－[*](1，0，1)T=(1，－1，－1)T 再对β1，β2，α3单位化，得 γ1=[*](1，0，1)T，γ2=[*](1，－1，－1)T，γ3=[*](1，2，－1)T 那么经坐标变换X=Qy，即 [*] 二次型化为标准形xTAx=[*] (Ⅱ)因为A～[*]，有A－3E～[*]－3E，进而(A－3E)6～([*]－3E)6．又[*]－3E=[*]，所以由Q－1AQ=[*]得Q－1(A－3E)6Q=([*]－3E)6=36E．于是(A－3E)6=Q([*]－3E)6Q－1=Q(36E)Q－1=36E．
解析
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考研数学一

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