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设二次型xTAx=+++2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)求(A-3E)6.
设二次型xTAx=+++2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)求(A-3E)6.
admin
2015-05-07
71
问题
设二次型x
T
Ax=
+
+
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=0,其中B=
(Ⅰ)用正交变换化二次型x
T
Ax为标准形,并写出所用正交变换;
(Ⅱ)求(A-3E)
6
.
选项
答案
(Ⅰ)由AB=[*]=0知,矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量. 记α
1
=[*],α
2
=[*],则Aα
1
=0=0α
1
,Aα
2
=0=0α
2
由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重),α
1
,α
2
是λ=0的线性无关的特征向量. 根据∑λ
i
=∑a
ii
有0+0+λ
3
=1+4+1,故知矩阵A有特征值λ=6.因此,矩阵A的特征值是0,0,6. 设λ=6的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互 正交,有 [*] 解出α
3
=(1,2,-1)
T
对α
1
,α
2
正交化,令β
1
=(1,0,1)
T
,则 β
2
=α
2
-[*]=(2,-1,0)
T
-[*](1,0,1)
T
=(1,-1,-1)
T
再对β
1
,β
2
,α
3
单位化,得 γ
1
=[*](1,0,1)
T
,γ
2
=[*](1,-1,-1)
T
,γ
3
=[*](1,2,-1)
T
那么经坐标变换X=Qy,即 [*] 二次型化为标准形x
T
Ax=[*] (Ⅱ)因为A~[*],有A-3E~[*]-3E,进而(A-3E)
6
~([*]-3E)
6
.又[*]-3E=[*],所以由Q
-1
AQ=[*]得Q
-1
(A-3E)
6
Q=([*]-3E)
6
=3
6
E.于是(A-3E)
6
=Q([*]-3E)
6
Q
-1
=Q(3
6
E)Q
-1
=3
6
E.
解析
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考研数学一
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