2. 考研
  3. 设y＝f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数. 证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

设y＝f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数. 证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

admin2021-08-31  28
问题 设y＝f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数.
证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
选项
答案S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt＝－∫1cf(t)dt，即证明S1(c)＝S2(c)，或cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，令φ(x)＝x∫1xf(t)dt，φ(0)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)＝0，即cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，所以S1(c)＝S2(c)，命题得证.
解析
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考研数学一

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