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设矩阵A=,β=,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一.试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
设矩阵A=,β=,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一.试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
admin
2020-06-05
28
问题
设矩阵A=
,β=
,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一.试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使得Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
(1)对方程组的增广矩阵作初等行变换 [*] 又线性方程组Ax=β有解但不唯一,所以R(A)=[*]﹤3,进而可得α=﹣2. (2)矩阵A的特征多项式为 |A-λE|[*] 所以,矩阵A的特征值为3,﹣3,0. 当λ=3时,解方程(A-3E)x=0.由 A-3E=[*] 得基础解系 p
1
=(﹣1,0,1)
T
当λ=﹣3时,解方程(A+3E)x=0.由 [*] 得基础解系p
2
=(1,﹣2,1)
T
. 当λ=0时,解方程(A-0E)x=0.由 A-0E[*] 得基础解系p
3
=(1,1,1)
T
. 注意到矩阵A是实对称矩阵,从而不同特征值所属的特征向量正交,即p
1
,p
2
,p
3
已正交. 只需要进行单位化即可,取 [*] 则令 Q=(q
1
,q
2
,q
3
)=[*] 得 Q
T
AQ=Q
﹣1
AQ=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Myv4777K
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考研数学一
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