设矩阵A＝，β＝，已知线性方程组Ax＝β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．

admin2020-06-05 25

问题设矩阵A＝

，β＝

，已知线性方程组Ax＝β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使得Q^TAQ为对角矩阵．

选项

答案(1)对方程组的增广矩阵作初等行变换 [*] 又线性方程组Ax＝β有解但不唯一，所以R(A)＝[*]﹤3，进而可得α＝﹣2． (2)矩阵A的特征多项式为｜A－λE｜[*] 所以，矩阵A的特征值为3，﹣3，0．当λ＝3时，解方程(A－3E)x＝0．由 A－3E＝[*] 得基础解系 p₁＝(﹣1，0，1)^T 当λ＝﹣3时，解方程(A＋3E)x＝0．由 [*] 得基础解系p₂＝(1，﹣2，1)^T．当λ＝0时，解方程(A－0E)x＝0．由 A－0E[*] 得基础解系p₃＝(1，1，1)^T．注意到矩阵A是实对称矩阵，从而不同特征值所属的特征向量正交，即p₁，p₂，p₃已正交．只需要进行单位化即可，取 [*] 则令 Q＝(q₁，q₂，q₃)＝[*] 得 Q^TAQ＝Q^﹣1AQ＝[*]

解析

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考研数学一

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