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  3. 设矩阵A＝，β＝，已知线性方程组Ax＝β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．

设矩阵A＝，β＝，已知线性方程组Ax＝β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．

admin2020-06-05  26
问题 设矩阵A＝，β＝，已知线性方程组Ax＝β有解但不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵．
选项
答案(1)对方程组的增广矩阵作初等行变换 [*] 又线性方程组Ax＝β有解但不唯一，所以R(A)＝[*]﹤3，进而可得α＝﹣2． (2)矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜[*] 所以，矩阵A的特征值为3，﹣3，0． 当λ＝3时，解方程(A－3E)x＝0．由 A－3E＝[*] 得基础解系 p1＝(﹣1，0，1)T 当λ＝﹣3时，解方程(A＋3E)x＝0．由 [*] 得基础解系p2＝(1，﹣2，1)T． 当λ＝0时，解方程(A－0E)x＝0．由 A－0E[*] 得基础解系p3＝(1，1，1)T． 注意到矩阵A是实对称矩阵，从而不同特征值所属的特征向量正交，即p1，p2，p3已正交． 只需要进行单位化即可，取 [*] 则令 Q＝(q1，q2，q3)＝[*] 得 QTAQ＝Q﹣1AQ＝[*]
解析
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考研数学一

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