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设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M.
设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M.
admin
2021-10-18
55
问题
设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M.
选项
答案
由题意,存在c∈(0,2),使得f(c)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,2),使得f(c)-f(0)=f(ξ
1
)c,f(2)-f(c)=f’(ξ
2
)(2-c),于是|f(0)|=|f’(ξ
1
)|c≤Mc,|f(2)|=|f’(ξ
2
)|(2-c)≤M(2-c),故|f(0)|+|f(2)|≤2M.
解析
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