设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M.

admin2021-10-18  30

问题 设f(x)在[0,2]上可导,且|f’(x)|≤M,又f(x)在(0,2)内至少有一个零点,证明:|f(0)|+|f(2)|≤2M.

选项

答案由题意,存在c∈(0,2),使得f(c)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξ1∈(0,c),ξ2∈(c,2),使得f(c)-f(0)=f(ξ1)c,f(2)-f(c)=f’(ξ2)(2-c),于是|f(0)|=|f’(ξ1)|c≤Mc,|f(2)|=|f’(ξ2)|(2-c)≤M(2-c),故|f(0)|+|f(2)|≤2M.

解析
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