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(2017年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)>0,证明: 方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
(2017年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)>0,证明: 方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
admin
2018-06-30
58
问题
(2017年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)>0,
证明:
方程f(x)f"(x)+(f’(x))
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
选项
答案
由上题知f(0)=f(b)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,b)[*](0,1),使得 f’(c)=0. 令F(x)=f(x)f’(x),由题设知F(x)在区间[0,b]上可导,且 F(0)=0,F(c)=0,F(b)=0. 根据罗尔定理,存在ξ∈(0,c),η∈(c,b),使得F’(ξ)=F’(η)=0,即ξ,η是方程f(x)f(x)+(f’(x))
2
=0在区间(0,1)内的两个不同实根.
解析
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考研数学一
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