(2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且f(1)＞0，证明：方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

admin2018-06-30 57

问题 (2017年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且f(1)＞0，

证明：
方程f(x)f"(x)+(f’(x))²=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

选项

答案由上题知f(0)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，b)[*](0，1)，使得 f’(c)=0．令F(x)=f(x)f’(x)，由题设知F(x)在区间[0，b]上可导，且 F(0)=0，F(c)=0，F(b)=0．根据罗尔定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，b)，使得F’(ξ)=F’(η)=0，即ξ，η是方程f(x)f(x)+(f’(x))²=0在区间(0，1)内的两个不同实根．

解析

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考研数学一

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