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求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。
求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。
admin
2018-04-14
42
问题
求函数f(x)=x
2
ln(1+x)在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)(n≥3)。
选项
答案
y=f(x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式: f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x
n
+o(x
n
), 求f
(n)
(0)(n≥3)可以通过先求y=f(x)的麦克劳林展开式,则展开式中x
n
项的系数与n!的乘积就是y=f(x)在点x=0处的n阶导数值f
(n)
(0)。 由麦克劳林公式, [*] 所以x
2
ln(1+x)=x
3
-[*]+…+(-1)
n-1
[*]+o(x
n
)。 对照麦克劳林公式 f(x)=f(0)+[*]x
n
+o(x
n
), 从而推知f
(n)
(0)/n!=(-1)
n-1
/n-2,得 f
(n)
(0)=(-1)
-1
n!/n-2,n=3,4,…。
解析
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考研数学二
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