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  3. 求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。

求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。

admin2018-04-14  18
问题 求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)。
选项
答案y=f(x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式： f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]xn+o(xn)， 求f(n)(0)(n≥3)可以通过先求y=f(x)的麦克劳林展开式，则展开式中xn项的系数与n!的乘积就是y=f(x)在点x=0处的n阶导数值f(n)(0)。 由麦克劳林公式， [*] 所以x2ln(1+x)=x3－[*]+…+(－1)n－1[*]+o(xn)。 对照麦克劳林公式 f(x)=f(0)+[*]xn+o(xn)， 从而推知f(n)(0)／n!=(－1)n－1／n－2，得 f(n)(0)=(－1)－1n!／n－2，n=3，4，…。
解析
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考研数学二

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